問題詳情：
如圖，在四稜錐中，底面是矩形，平面，，點、分別在線段、上，且，其中，連接，延長與的延長線交於點，連接．
（Ⅰ）求*：平面；
（Ⅱ）若時，求二面角的正弦值；
（Ⅲ）若直線與平面所成角的正弦值為時，求值．
【回答】
（Ⅰ）*見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）.
【分析】
（Ⅰ）在線段上取一點，使得，，*四邊形為平行四邊形，得到，然後*平面．
（Ⅱ）以為座標原點，分別以，，為，，軸建立空間直角座標系，求出平面的一個法向量，平面的一個法向量利用空間向量的數量積，求解二面角的正弦值．
（Ⅲ）令，，，，，求出平面的一個法向量利用空間向量的數量積轉化求解即可．
【詳解】
（Ⅰ）在線段上取一點，使得，，
且，
，
，且，
四邊形為平行四邊形，
又平面，平面，
平面．
（Ⅱ）以為座標原點，分別以，，為，，軸建立空間直角座標系，0，，，0，，，2，，，2，，，0，，
，，1，，，0，
設平面的一個法向量為，
，，
，令，，，
令，，，，
二面角的正弦值為．
（Ⅲ）令，，，，，
，令，
由題意可得：，
，．
【點睛】
本題考查直線與平面平行的判斷定理的應用，二面角的平面角的求法，直線與平面所成角的求法，考查空間想象能力以及計算能力．
知識點：點 直線 平面之間的位置
題型：解答題
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