已知函數f(x)＝x－alnx(a∈R)．(1)當a＝2時，求曲線y＝f(x)在點A(1，f(1))處的切線方...

問題詳情：

已知函數f(x)＝x－aln x(a∈R)．

(1)當a＝2時，求曲線y＝f(x)在點A(1，f(1))處的切線方程；

(2)求函數f(x)的極值．

【回答】

解　函數f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝1－.

(1)當a＝2時，f(x)＝x－2ln x，f′(x)＝1－(x>0)，

因而f(1)＝1，f′(1)＝－1，

所以曲線y＝f(x)在點A(1，f(1))處的切線方程為

y－1＝－(x－1)，

即x＋y－2＝0.

(2)由f′(x)＝1－＝，x>0知：

①當a≤0時，f′(x)>0，函數f(x)為(0，＋∞)上的增函數，函數f(x)無極值；

②當a>0時，由f′(x)＝0，解得x＝a.

又當x∈(0，a)時，f′(x)<0；

當x∈(a，＋∞)時，f′(x)>0，

從而函數f(x)在x＝a處取得極小值，且極小值為

f(a)＝a－aln a，無極大值．

綜上，當a≤0時，函數f(x)無極值；

當a>0時，函數f(x)在x＝a處取得極小值a－aln a，無極大值．

知識點：導數及其應用

題型：解答題