问题详情:
已知函数f(x)=ax+x2-xln a-b(a,b∈R,a>1),e是自然对数的底数.
(1)试判断函数f(x)在区间(0,+∞)上的单调*;
(2)当a=e,b=4时,求整数k的值,使得函数f(x)在区间(k,k+1)上存在零点.
【回答】
解:(1)f′(x)=axln a+2x-ln a=2x+(ax-1)ln a.
∵a>1,∴当x∈(0,+∞)时,ln a>0,
ax-1>0,
∴f′(x)>0,
∴函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.
(2)∵f(x)=ex+x2-x-4,∴f′(x)=ex+2x-1,∴f′(0)=0,当x>0时,ex>1,
∴f′(x)>0,
∴f(x)是(0,+∞)上的增函数;
同理,f(x)是(-∞,0)上的减函数.
又f(0)=-3<0,f(1)=e-4<0,
f(2)=e2-2>0,当x>2时,f(x)>0,
∴当x>0时,函数f(x)的零点在(1,2)内,
∴k=1满足条件;
f(0)=-3<0,f(-1)=-2<0,
f(-2)=+2>0,当x<-2时,f(x)>0,
∴当x<0时,函数f(x)的零点在(-2,-1)内,∴k=-2满足条件.
综上所述,k=1或-2.
知识点:导数及其应用
题型:解答题