如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB＝，△ADP为等边三角形．(Ⅰ)求*：AD⊥PB；(Ⅱ...

问题详情：

如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB＝，△ADP为等边三角形．

(Ⅰ)求*：AD⊥PB；

(Ⅱ)若AB＝2，BP＝，求点D到平面PBC的距离．

【回答】

【解析】(Ⅰ)取AD的中点O，连接PO，OB，*AD⊥平面PBO，从而得*．

(Ⅱ)∵AD//BC，∴PB⊥BC.

利用等体积变换，得VD－PBC＝VP－DBC，从而求出D到平面PBC的距离．

(Ⅰ)取AD的中点O，连接OP，OB.

∵△ADP为等边三角形，∴PO⊥AD，∵AB＝AD，∠DAB＝，

∴△ADB为等边三角形，∴BO⊥AD.

又PO∩OB＝O，∴AD⊥平面PBO.

又PB⊂平面PBO，∴AD⊥PB.(6分)

(Ⅱ)由条件知△ABD与△PAD都是边长为2的等边三角形，∴OB＝OP＝.

又PB＝，则PB2＝OB2＋OP2，∴OP⊥OB.

又OB∩AD＝O，∴PO⊥平面ABD，

∵VD－PBC＝VP－DBC＝S△BDC·OP＝××2××＝1，

又AD∥BC，∴PB⊥BC，∴S△PBC＝××2＝，

设点D到平面PBC的距离为h，由S△PBC·h＝1，解得h＝.(12分)

知识点：点 直线 平面之间的位置

题型：解答题