如图，△ABC中，∠ABC的角平分线与∠ACB的外角∠ACD的平分线交于A1．（1）当∠A为70°时，∵∠AC...

问题详情：

如图，△ABC中，∠ABC的角平分线与∠ACB的外角∠ACD的平分线交于A1．

（1）当∠A为70°时，

∵∠ACD-∠ABD=∠______

∴∠ACD-∠ABD=______°

∵BACA1是∠ABC的角平分线与∠ACB的外角∠ACD的平分线

∴∠A1CD-∠A1BD=（∠ACD-∠ABD）

∴∠A1=______°；

（2）∠A1BC的角平分线与∠A1CD的角平分线交于A2，∠A2BC与A2CD的平分线交于A3，如此继续下去可得A…、An，请写出∠A与∠An的数量关系______；

（3）如图2，四边形ABCD中，∠F为∠ABC的角平分线及外角∠DCE的平分线所在的直线构成的角，若∠A+∠D=230度，则∠F=______．

（4）如图3，若E为BA延长线上一动点，连EC，∠AEC与∠ACE的角平分线交于Q，当E滑动时有下面两个结论：①∠Q+∠A1的值为定值；②∠Q-∠A1的值为定值．其中有且只有一个是正确的，请写出正确的结论，并求出其值．

【回答】

（1）∠A；70°；35°；

（2）∠A=2n∠An

（3）25°

（4）①∠Q+∠A1的值为定值正确，Q+∠A1=180°．

【解析】

（1）根据角平分线的定义可得∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，整理即可得解； （2）由∠A1CD=∠A1+∠A1BC，∠ACD=∠ABC+∠A，而A1B、A1C分别平分∠ABC和∠ACD，得到∠ACD=2∠A1CD，∠ABC=2∠A1BC，于是有∠BAC=2∠A1，同理可得∠A1=2∠A2，即∠A=22∠A2，因此找出规律； （3）先根据四边形内角和等于360°，得出∠ABC+∠DCB=360°-（α+β），根据内角与外角的关系和角平分线的定义得出∠ABC+（180°-∠DCE）=360°-（α+β）=2∠FBC+（180°-2∠DCF）=180°-2（∠DCF-∠FBC）=180°-2∠F，从而得出结论； （4）依然要用三角形的外角*质求解，易知2∠A1=∠AEC+∠ACE=2（∠QEC+∠QCE），利用三角形内角和定理表示出∠QEC+∠QCE，即可得到∠A1和∠Q的关系．

【详解】

解：（1）当∠A为70°时， ∵∠ACD-∠ABD=∠A， ∴∠ACD-∠ABD=70°， ∵BA1、CA1是∠ABC的角平分线与∠ACB的外角∠ACD的平分线， ∴∠A1CD-∠A1BD=（∠ACD-∠ABD） ∴∠A1=35°； 故*为：A，70，35； （2）∵A1B、A1C分别平分∠ABC和∠ACD， ∴∠ACD=2∠A1CD，∠ABC=2∠A1BC， 而∠A1CD=∠A1+∠A1BC，∠ACD=∠ABC+∠BAC， ∴∠BAC=2∠A1=80°， ∴∠A1=40°， 同理可得∠A1=2∠A2， 即∠BAC=22∠A2=80°， ∴∠A2=20°， ∴∠A=2n∠An， 故*为：∠A=2∠An． （3）∵∠ABC+∠DCB=360°-（∠A+∠D）， ∴∠ABC+（180°-∠DCE）=360°-（∠A+∠D）=2∠FBC+（180°-2∠DCF）=180°-2（∠DCF-∠FBC）=180°-2∠F， ∴360°-（α+β）=180°-2∠F， 2∠F=∠A+∠D-180°， ∴∠F=（∠A+∠D）-90°， ∵∠A+∠D=230°， ∴∠F=25°； 故*为：25°． （4）①∠Q+∠A1的值为定值正确． ∵∠ACD-∠ABD=∠BAC，BA1、CA1是∠ABC的角平分线与∠ACB的外角∠ACD的平分线 ∴∠A1=∠A1CD-∠A1BD=

∠BAC， ∵∠AEC+∠ACE=∠BAC，EQ、CQ是∠AEC、∠ACE的角平分线， ∴∠QEC+∠QCE=（∠AEC+∠ACE）=∠BAC， ∴∠Q=180°-（∠QEC+∠QCE）=180°-∠BAC， ∴∠Q+∠A1=180°．

【点睛】

本题主要考查三角形的外角*质和角平分线的定义的运用，根据推导过程对题目的结果进行规律总结对解题比较重要．

知识点：与三角形有关的角

题型：解答题