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已知函数f(x)对任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0...

栏目: 练习题 / 发布于: / 人气:5.28K

问题详情：

已知函数f(x)对任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－已知函数f(x)对任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0....

(1)求*：f(x)是R上的单调减函数．

(2)求f(x)在[－3,3]上的最小值．

【回答】

 (1)*：设x1，x2是任意的两个实数，且x1<x2，

则x2－x1>0，因为x>0时，f(x)<0，

所以f(x2－x1)<0，

又因为x2＝(x2－x1)＋x1，

所以f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]

＝f(x2－x1)＋f(x1)，

所以f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)<0，

所以f(x2)<f(x1)．

所以f(x)是R上的单调减函数．

(2)由(1)可知f(x)在R上是减函数，

所以f(x)在[－3,3]上也是减函数，

所以f(x)在[－3,3]上的最小值为f(3)．

而f(3)＝f(1)＋f(2)＝3f(1)＝3×已知函数f(x)对任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0... 第2张＝－2.

所以函数f(x)在[－3,3]上的最小值是－2.

【点睛】

抽象函数常见的赋值形式：令已知函数f(x)对任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0... 第3张，已知函数f(x)对任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0... 第4张，已知函数f(x)对任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0... 第5张，已知函数f(x)对任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0... 第6张已知函数f(x)对任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0... 第7张等。

知识点：*与函数的概念

题型：解答题

Tags：fx0 FX fy 已知 x0
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