如图，在矩形中，，点D是边的中点，反比例函数的图象经过点D，交边于点E，直线的解析式为．（1）求反比例函数的解...

问题详情：

如图，在矩形中，，点D是边的中点，反比例函数的图象经过点D，交边于点E，直线的解析式为．

（1）求反比例函数的解析式和直线的解析式；

（2）在y轴上找一点P，使的周长最小，求出此时点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，的周长最小值是______．

【回答】

（1），；（2）点P坐标为；（3）．

【解析】

（1）首先求出D点坐标，然后将D点坐标代入反比例解析式，求出k即可得到反比例函数的解析式.将x=2代入反比例函数解析式求出对应y的值，即得到E点的坐标，然后将点D,E两点的坐标代入一次函数的解析式中，即可求出DE的解析式.

(2)作点D关于y轴的对称点，连接，交y轴于点P，连接．此时的周长最小.然后求出直线的解析式，求直线与y轴的交点坐标，即可得出P点的坐标；

（3）的周长的最小值为DE+，分别利用勾股定理两条线段的长，即可求.

【详解】

解：（1）∵D为的中点，，

∴．

∵四边形是矩形，，

∴D点坐标为．

∵在的图象上，

∴．∴反比例函数解析式为．

当时，．

∴E点坐标为．

∵直线过点和点

∴

解得

∴直线的解析式为．

∴反比例函数解析式为，

直线的解析式为．

（2）作点D关于y轴的对称点，连接，交y轴于点P，连接．

此时的周长最小．∵点D的坐标为，

∴点的坐标为．

设直线的解析式为．

∵直线经过

∴

解得

∴直线的解析式为．

令，得．

∴点P坐标为．

（3）由（1）(2)知D（1，4），E（2，2），(-1,4).又B(2,4),

∴BD=1,BE=2,B=3.

在Rt△BDE中，由勾股定理，得DE==.

在Rt△BE中，由勾股定理，得E==.

的周长的最小值为+DE =．

【点睛】

本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，矩形的*质，待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，轴对称的最短路径问题等，难度适中，正确的求出解析式和找到周长最小时的点P是解题的关键.

知识点：反比例函数

题型：解答题