已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1时取得极值，且f(1)＝－1.(1)试求常数a，b，c的...

问题详情：

已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1时取得极值，且f(1)＝－1.

(1)试求常数a，b，c的值．

(2)试判断x＝±1是函数的极小值点还是极大值点，并说明理由．

【回答】

 解：(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.

因为x＝±1是函数f(x)的极值点，

所以x＝±1是方程f′(x)＝0，即3ax2＋2bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系，得

又f(1)＝－1，

所以a＋b＋c＝－1.③

由①，②，③解得a＝，b＝0，c＝－.

(2)f(x)＝x3－x，

所以f′(x)＝x2－＝(x－1)(x＋1)．

当x＜－1或x＞1时，f′(x)＞0；

当－1＜x＜1时，f′(x)＜0.

所以函数f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－1,1)上是减函数．

所以当x＝－1时，函数取得极大值f(－1)＝1，当x＝1时，函数取得极小值f(1)＝－1.

知识点：导数及其应用

题型：解答题