(1)已知函数f(x)＝axekx－1，g(x)＝lnx＋kx.当a＝1时，若f(x)在(1，＋∞)上为减函数...

问题详情：

(1)已知函数f(x)＝axekx－1，g(x)＝ln x＋kx.当a＝1时，若f(x)在(1，＋∞)上为减函数，g(x)在(0,1)上为增函数，求实数k的值；

(2)已知函数f(x)＝x＋－2ln x，a∈R，讨论函数f(x)的单调区间．

【回答】

[解]　(1)当a＝1时，f(x)＝xekx－1，

∴f′(x)＝(kx＋1)ekx，g′(x)＝＋k.

∵f(x)在(1，＋∞)上为减函数，

则∀x＞1，f′(x)≤0⇔k≤－，

∴k≤－1.

∵g(x)在(0,1)上为增函数，

则∀x∈(0,1)，g′(x)≥0⇔k≥－，

∴k≥－1.

综上所述，k＝－1.

(2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，

∴f′(x)＝1－－＝

①当Δ＝4＋4a≤0，即a≤－1时，

得x2－2x－a≥0，

则f′(x)≥0.

∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．

②当Δ＝4＋4a＞0，即a＞－1时，

令f′(x)＝0，得x2－2x－a＝0，

解得x1＝1－，x2＝1＋＞0.

(ⅰ)若－1＜a≤0，则x1＝1－≥0，

∵x∈(0，＋∞)，

∴f(x)在(0,1－)，(1＋，＋∞)上单调递增，

在(1－，1＋)上单调递减．

(ⅱ)若a＞0，则x1＜0，当x∈(0,1＋)时，f′(x)＜0，当x∈(1＋，＋∞)时，f′(x)＞0，

∴函数f(x)在区间(0,1＋)上单调递减，

在区间(1＋，＋∞)上单调递增.

知识点：导数及其应用

题型：解答题