问题详情:
已知数列{an}中,Sn是它的前n项和,并且Sn+1=4an+2(n=1,2,…),a1=1.
(1)设bn=an+1-2an(n=1,2,…),求*:数列{bn}是等比数列;
(2)设cn=(n=1,2,…),求*:数列{cn}是等差数列.
【回答】
*:(1)因为Sn+1=4an+2,
所以Sn+2=4an+1+2,
两式相减得Sn+2-Sn+1=4an+1-4an(n=1,2,…),
即an+2=4an+1-4an,
变形得an+2-2an+1=2(an+1-2an),
因为bn=an+1-2an(n=1,2,…),
所以bn+1=2bn,
由此可知,数列{bn}是公比为2的等比数列.
(2)由S2=a1+a2=4a1+2,a1=1,
得a2=5,b1=a2-2a1=3.
故bn=3·2n-1.
因为cn=(n=1,2,…),
所以cn+1-cn
将bn=3·2n-1代入得cn+1-cn=(n=1,2,…).
由此可知,数列{cn}是公差d=的等差数列.
知识点:推理与*
题型:解答题