问题详情:
已知函数.
(1)试判断f(x)在定义域内的单调*;
(2)若f(x)在区间[1,e2]上的最小值为2,求实数a的值.
【回答】
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调*.
【分析】(1)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间即可;(2)通过讨论a的范围,确定函数的单调*,从而求出函数的最小值即可.
【解答】解:由已知得f(x)得的定义域是(0,+∞),
f′(x)=,
(1)∵a>0,∴﹣a<0,
当x∈(0,a)时,f(x)<0,当x∈(a,+∞)时,f(x)>0,
∴f(x)在(0,a)递减,在(a,+∞)递增;
(2)由(1)得:
①0<a≤1时,f(x)在在[1,e2]递增,
∴f(x)min=f(1)==2,得a=2(舍),
②当1<a<e2时,f(x)在(1,a)递减,在(a,e2)递增,
∴f(x)min=f(a)=lna+=2,解得:a=,
③当a≥e2时,f(x)在[1,e2]递减,
∴f(x)min=f(e2)=2+=2,无解,
综上:a=.
知识点:导数及其应用
题型:解答题