问题详情:
已知函数f(x)=+2x﹣lnx.
(1)若a=﹣,判断函数f(x)的单调*;
(2)若函数f(x)在定义域内单调递减,求实数a的取值范围;
(3)当a=﹣时,关于x的方程f(x)=x﹣b在上恰有两个不相等的实数根,求实数b的取值范围.
【回答】
【考点】6B:利用导数研究函数的单调*;6D:利用导数研究函数的极值.
【分析】(1)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间即可;
(2)求出导数,依题意f′(x)≤0在x>0时恒成立,即ax2+2x﹣1≤0在x>0恒成立,对a讨论,则有a<0,判别式不小于0,即可;
(3)由题意设g(x)=x2﹣x+lnx﹣b,求得导数,列表表示g(x)和g′(x)的关系,得到极小值和极大值,
又方程g(x)=0在上恰有两个不相等的实数根.则令g(1)≥0,g(2)<0,g(4)≥0,解出它们即可,.
【解答】解:(1)f′(x)=,(x>0),
∵a=﹣时,由f′(x)=>0,
得3x2﹣8x+4<0,∴<x<2,
故f(x)在(,2)内递增,在(0,)和(2,+∞)内递减.
(2)函数f(x)的定义域为(0,+∞),依题意f′(x)≤0在x>0时恒成立,
即ax2+2x﹣1≤0在x>0时恒成立,
则a≤=﹣1在x>0时恒成立,即a≤﹣1,
∴a的取值范围是(﹣∞,﹣1];
(3)由题意﹣x2+2x﹣lnx=x﹣b,
即x2﹣x+lnx﹣b=0,
设g(x)=x2﹣x+lnx﹣b,
则g′(x)=,
列表:
x | (0,1) | 1 | (1,2) | 2 | (2,4) |
g′(x) | + | 0 | ﹣ | 0 | + |
g(x) | ↑ | 极大值 | ↓ | 极小值 | ↑ |
∴g(x)极大值=g(1)=﹣b﹣,g(x)极小值=g(2)=ln2﹣b﹣2,又g(4)=2ln2﹣b﹣2
又方程g(x)=0在上恰有两个不相等的实数根.
则,得 ln2﹣2<b≤﹣(注意﹣<﹣1<2ln2﹣2),
∴b的取值范围为(ln2﹣2,﹣].
知识点:导数及其应用
题型:解答题