若函数f(x)＝2x3－6x＋k在R上只有一个零点，求常数k的取值范围．

问题详情：

若函数f(x)＝2x3－6x＋k在R上只有一个零点，求常数k的取值范围．

【回答】

解　f(x)＝2x3－6x＋k，

则f′(x)＝6x2－6，

令f′(x)＝0，

得x＝－1或x＝1，

可知f(x)在(－1,1)上是单调减函数，

f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是单调增函数．

f(x)的极大值为f(－1)＝4＋k，

f(x)的极小值为f(1)＝－4＋k.

要使函数f(x)只有一个零点，

只需4＋k<0或－4＋k>0(如图所示)

或

即k<－4或k>4.

∴k的取值范围是(－∞，－4)∪(4，＋∞)．

知识点：导数及其应用

题型：解答题