问题详情:
如图1,直线AB分别与x轴、y轴交于A、B两点,OC平分∠AOB交AB于点C,点D为线段AB上一点,过点D作DE∥OC交y轴于点E,已知AO=m,BO=n,且m、n满足n2﹣12n+36+|n﹣2m|=0.
(1)求A、B两点的坐标;
(2)若点D为AB中点,延长DE交x轴于点F,在ED的延长线上取点G,使DG=DF,连接BG.
①BG与y轴的位置关系怎样?说明理由;
②求OF的长;
(3)如图2,若点F的坐标为(10,10),E是y轴的正半轴上一动点,P是直线AB上一点,且P的横坐标为6,是否存在点E使△EFP为等腰直角三角形?若存在,求出点E的坐标;若不存在,说明理由.
【回答】
【解答】(1)由n2﹣12n+36+|n﹣2m|=0.得:(x﹣6)2+|n﹣2m|=0,
∴n=6,m=3,
∴A(3,0),B(0,6).
(2)①BG⊥y轴.
在△BDG与△ADF中,,
∴△BDG≌△ADF
∴BG=AF,∠G=∠DFA
∵OC平分∠ABC,
∴∠COA=45°,
∵DE∥OC,
∴∠DFA=45°,∠G=45°.
∵∠FOE=90°,
∴∠FEO═45°
∵∠BEG=45°,
∴∠EBG=90°,
即BG与y轴垂直.
②从①可知,BG=FA,△BDE为等腰直角三角形.
∴BG=BE.
设OF=x,则有OE=x,3+x=6﹣x,解得x=1.5,
即:OF=1.5.
(3)∵A(3,0),B(0,6).
∵直线AB的解析式为:y=﹣2x+6,
∵P点的横坐标为6,
故P(6,﹣6)
要使△EFP为等腰直角三角形,必有EF=EP,且∠FEP═90°,
如图2,过F、P分别向y轴作垂线垂足分别为M、N.
∵∠FEP═90°
∴∠FEM+∠PEN=90°,又∠FEM+∠MFE=90°
∴∠PEN=∠MFE
∴Rt△FME≌Rt△ENP
∴ME=NP=6,
∴OE=10﹣6=4.
即存在点E(0,4),使△EFP为等腰直角三角形
知识点:三角形全等的判定
题型:解答题