若函數f(x)＝2x3－6x＋k在R上只有一個零點，求常數k的取值範圍．

問題詳情：

若函數f(x)＝2x3－6x＋k在R上只有一個零點，求常數k的取值範圍．

【回答】

解　f(x)＝2x3－6x＋k，

則f′(x)＝6x2－6，

令f′(x)＝0，

得x＝－1或x＝1，

可知f(x)在(－1,1)上是單調減函數，

f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是單調增函數．

f(x)的極大值爲f(－1)＝4＋k，

f(x)的極小值爲f(1)＝－4＋k.

要使函數f(x)只有一個零點，

只需4＋k<0或－4＋k>0(如圖所示)

或

即k<－4或k>4.

∴k的取值範圍是(－∞，－4)∪(4，＋∞)．

知識點：導數及其應用

題型：解答題