從某學校高三年級共800名男生中隨機抽取50人測量身高．據測量，被測學生身高全部介於155cm到195cm之間...

問題詳情：

從某學校高三年級共800名男生中隨機抽取50人測量身高．據測量，被測學生身高全部介於155cm到195cm之間，將測量結果按如下方式分成八組：第一組[155，160）；第二組[160，165）；…；第八組[190，195]．如圖是按上述分組方法得到的頻率分佈直方圖的一部分．已知第一組與第八組人數相同，第六組、第七組、第八組人數依次構成等差數列．

（1）估計這所學校高三年級全體男生身高在180cm以上（含180cm）的人數及平均身高；

（2）求第六組、第七組的頻率並補充完整頻率分佈直方圖；

（3）若從身高屬於第六組和第八組的所有男生中隨機抽取兩人，記他們的身高分別為x、y，求滿足“|x﹣y|≤5”的事件的概率．

【回答】

【解答】解：（1）由頻率分佈直方圖得前五組頻率為（0.008+0.016+0.04+0.04+0.06）×5＝0.82，

後三組頻率為1﹣0.82＝0.18，人數為0.18×50＝9，

∴學校高三年級全體男生身高在180 cm以上（含180 cm）的人數為800×0.18＝144，

由頻率分佈直方圖得第八組頻率為0.008×5＝0.04，人數為0.04×50＝2，

設第六組人數為m，則第七組人數為9﹣2﹣m＝7﹣m，

又由等差數列可得m+2＝2（7﹣m），解得m＝4，

∴第六組人數為4，第七組人數為3，

∴平均身高為（182.5×4+187.5×3+192.5×2）≈186.4

（2）由（1）可得第八組頻率為0.008×5＝0.04，人數為0.04×50＝2，

第六組人數為4，第七組人數為3，頻率分別等於0.08，0.06．

分別等於0.016，0.012．其完整的頻率分佈直方圖如圖．

（3）由（2）知身高在[180，185）內的人數為4，設為a、b、c、d，

身高在[190，195]內的人數為2，設為A、B，

若x，y∈[180，185）時，有ab、ac、ad、bc、bd、cd共6種情況；

若x，y∈[190，195]時，有AB共1種情況；

若x，y分別在[180，185）和[190，195]內時，有aA、bA、cA、dA、aB、bB、cB、dB，共8種情況．

∴基本事件總數為6+1+8＝15，事件“|x﹣y|≤5”所包含的基本事件個數有6+1＝7，

∴P（|x﹣y|≤5）＝．

知識點：統計

題型：解答題