問題詳情：
已知函數
，則函數
的零點個數為（ ）（
是自然對數的底數）
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
【回答】
B
【解析】
利用導數研究函數
*質，如單調*，函數值的變化趨勢和，函數的極值．再研究方程
的解的個數，即直線
與函數
的公共點的的取值，從而利用函數
的*質求得
零點個數．
【詳解】
時，
是增函數，
，
時，
，顯然
，
由
，
作出
和
的圖象，如圖，
是增函數，
在
是減函數
它們有一個交點，設交點橫座標為
，易得
，
在
時，
時，
，
所以
在
上遞減，在
上遞增，
是
的極小值，也是在
時的最小值．
，即
，
，
時，
，
時，
．作出
的大致圖象，作直線
，如圖，
時
與
的圖象有兩個交點，即
有兩個解
，
．
時，
，由
得
，而
時，
，
，所以直線
在
處相切．即
時方程
有一個解
．
，令
，則
，由上討論知方程
有三個解：
(
)
而
有一個解，
和
都有兩個解，所以
有5個解，
即函數
有5個零點．
故選：B．
【點睛】本題考查函數的零點個數問題，通過換元法問題轉化為
的解及
的解，為此利用導數研究函數
的*質，研究直線
與函數
的公共點問題．研究
的圖象與直線
的公共點個數．本題考查了學生的轉化與化歸思想．運算求解能力．
知識點：基本初等函數I
題型：選擇題
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