如圖4，質量分別為m和M的兩個星球A和B在引力作用下都繞O點做勻速圓周運動，星球A和B兩者中心之間的距離為L....

問題詳情：

如圖4，質量分別為m和M的兩個星球A和B在引力作用下都繞O點做勻速圓周運動，星球A和B兩者中心之間的距離為L.已知A、B的中心和O三點始終共線，A和B分別在O的兩側．引力常數為G.

圖4

(1)求兩星球做圓周運動的週期；

(2)在地月系統中，若忽略其他星球的影響，可以將月球和地球看成上述星球A和B，月球繞其軌道中心運行的週期記為T1.但在近似處理問題時，常常認為月球是繞地心做圓周運動的，這樣算得的運行週期記為T2.已知地球和月球的質量分別為5.98×1024 kg和7.35×1022 kg.求T2與T1兩者平方之比．(結果保留三位小數)

【回答】

(1)T＝2π　(2)1.012

【解析】(1)設兩個星球A和B做勻速圓周運動的軌道半徑分別為r和R，相互作用的引力大小為F，運行週期為T.根據萬有引力定律有F＝G，①

由勻速圓周運動的規律得F＝m2r，②

F＝M2R，③

由題意知L＝R＋r，④

聯立①②③④得T＝2π .⑤

(2)在地月系統中，由於地月系統旋轉所圍繞的中心O不在地心，月球做圓周運動的週期可由⑤式推出

T1＝2π .⑥

式中，m′和M′分別是月球與地球的質量，L′是地心與月心之間的距離，若認為月球在地球的引力作用下繞地心做勻速圓周運動，則G＝m′2L′.⑦

式中，T2為月球繞地心運動的週期，由⑦式得

T2＝2π .⑧

由⑥⑧式得＝1＋，⑨

代入數據得＝1.012.⑩

知識點：未分類

題型：計算題