半徑為的剛*球固定在水平桌面上，有一個質量為的圓環狀均勻**細繩圈，原長，，細繩圈的勁度係數為（繩伸長時，繩中...

問題詳情：

半徑為的剛*球固定在水平桌面上，有一個質量為的圓環狀均勻**細繩圈，原長，，細繩圈的勁度係數為（繩伸長時，繩中**張力為）.將繩圈從球的正上方輕放到球上，並用手扶着繩圈使其保持水平並最後停留在某個平衡位置，如圖所示。

（1）設平衡時繩圈長為，，忽略摩擦，考慮重力，試求勁度係數（用表示）.

（2）設，求繩圈的最後平衡位置及長度.

【回答】

（1） ；（2）

【解析】

設平衡時繩圈位於球面上相應於角的緯線上,考慮繩上的一段長為的一小段,俯視圖如圖所示,這一小段的重力為,方向豎直向下.繩內的張力大小為,所以,張力的合力大小為,方向在平面內並指向繩圈的中心球面對這一小段的支持力,方向沿球的半徑向外,這三個力在同一個豎直平面內,將這三個力在該平面內沿球面的徑向與法向進行分解,可確定繩在球面上的平衡狀態。

(1)由球面經線切向合力為零有

,     （*）

式中，

解得。

(2)當時,由(*)式及相關數據可得：

 ,即 .

注意到,且，所以上式無解.實際上,太小時,繩圈在重力作用下將滑過球體而落在桌面上,因此繩長為原長，即。

解答本題,至少有下面三點需要我們突破:

1.本題顯然是一個力的平衡問題,選繩子整體為對象顯然不合適,而從中隔離出微元部分作為研究對象,需要我們有隔離法的思想。

2.當以隔離出的一小段為研究對象時,其所受力不在一個平面內,是空間力系,要能對其進行降維處理,將空間力系轉換為幾個平面力系,進而在平面力系中進行相關的研究。

3.當在(2)中得到無解後,要意識到繩子在球面上是不存在平衡態的,必然是繩子落地,收縮至原長,且最終還必須給出結果。

知識點：專題一 力與物體的平衡

題型：解答題