問題詳情:
點為正方形的邊上任意一點,在正方形內部做等腰直角.
(1)如圖1,若,則_________(請直接寫出*)
(2)作關於的對稱點,連接交於點.
①補全圖形1;
②*:四邊形ECHF為平行四邊形.
(3)在(2)的條件下,連接,請直接寫出和之間的數量關係.
【回答】
(1);(2)①見解析;②見解析;(3)
【解析】
(1)在中,利用勾股定理求得,再在是等腰直角三角形AEF中利用勾股定理即可求解;
(2)①按照要求補全圖形即可;
②作MN⊥AB,交DC於N,交AB於M,*得△AMF≌△FNE,根據全等三角形的*質*點F在正方形ABCD的線BD上,設法*FH=EC,FH∥EC,從而*結論;
(3)根據②的過程,利用勾股定理*得 ,,從而得到.
【詳解】
(1)∵四邊形ABCD是正方形,AB=6,EC=2, ∴AB=AD=DC=6,∠ADE=90,
在中,AD= 6,DE=DC-EC=6-2=4,
∴,
∵AEF是等腰直角三角形,且∠AFE=90,
∴AF=EF,
∵,即,
∴;
(2)①補全圖形如圖所示:
②如圖,過點F作MN⊥AB,交DC於N,交AB於M,連接BD,
∵AB∥CD,MN⊥AB,∠AFE=90, ∴MN⊥CD, ∴∠AFM+∠EFN=90°,∠AFM +∠FAM=90°, ∴∠EFN =∠FAM,
在△AMF和△FNE中,
, ∴△AMF≌△FNE(AAS), ∴AM=FN,MF=EN,
∵四邊形ABCD是正方形,且MN⊥AB,
∴∠BAD=∠ADC=∠AMN=90°,
∴四邊形ADNM是矩形,
∴AM=DN,
∴FN=DN,
又MN⊥CD,
∴∠FDN=45°,
∴點F在正方形ABCD的線BD上,
又F、H關於BC對稱,
∴MF=FP=PH=EN,FP⊥BC,
∴四邊形BPFM是正方形,四邊形PCNF是矩形,
∴FP=NC,PC=FN,
∴FH=EC,
∵F、H關於BC對稱,
∴FH⊥BC,
∵DC⊥BC,
∴FH∥EC,
∴四邊形ECHF為平行四邊形;
(3)由②得MF=FP,
∴,
∵AM=DN=FN,
∴,
∴.
【點睛】
本題考查了正方形的*質,全等三角形的判定和*質,等腰直角三角形*質,直角三角形的*質,勾股定理的應用,添加恰當輔助線是本題的關鍵.
知識點:三角形全等的判定
題型:解答題