如圖，在等腰直角三角形中，．點是的中點，以為邊作正方形，連接．將正方形繞點順時針旋轉，旋轉角為．（1）如圖，在...

問題詳情：

如圖，在等腰直角三角形中，．點是的中點，以為邊作正方形，連接．將正方形繞點順時針旋轉，旋轉角為．

（1）如圖，在旋轉過程中，

①判斷與是否全等，並説明理由；

②當時，與交於點，求的長．

（2）如圖，延長交直線於點．

①求*：；

②在旋轉過程中，線段的長度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請説明理由．

【回答】

（1）①全等，*見解析；②；（2）①*見解析；②．

【解析】

（1）①由等腰直角三角形*質和正方形*質根據全等三角形判定定理（SAS）即可*；②過A點作AM⊥GD，垂足為M，交FE與N，利用等腰三角形三線合一*質構造直角三角形，由勾股定理求出AM的長，進而得出，再由求出結果；

（2）①根據全等三角形*質可得，再在和中由三角形內角和定理得出，從而*結論；②根據∠APC=90°得出PC最大值是∠GAD最大時，即GD⊥AG時，進而可知CEF三點共線，F與P重合，求出此時CE長，繼而可得CP最大值．

【詳解】

解：（1）①全等，理由如下：

在等腰直角三角形中，AD=CD，，

在正方形中，GD=ED，，

又∵，，

∴

在和中，

 ，

∴（SAS）；

②如解圖2，過A點作AM⊥GD，垂足為M，交FE與N，

∵點是的中點，

∴在正方形中，DE=GD=GF=EF=2，

由①得，

∴，

又∵，

∴，

∵AM⊥GD，

∴，

又∵ ，

∴四邊形GMNF是矩形，

∴，

在中，，

∴

∵，

∴

∴，

∴．

（2）①由①得，

∴，

又∵，

∴，

∴，即：；

②∵，

∴，

∴當最大時，PC最大，

∵∠DAC=45°，是定值，

∴最大時，最大，PC最大，

∵AD=4，GD=2，

∴當GD⊥AG，最大，如解圖3，

此時，

又∵，，

∴F點與P點重合，

∴CEFP四點共線，

∴CP=CE+EF=AG+EF=，

∴線段得最大值為：．

【點睛】

本題考查了三角形的綜合；涉及了全等三角形的判定與*質，正方形的*質，勾股定理，解直角三角形等知識，能夠準確畫出旋轉後滿足條件的兩個圖形，構造直角三角形求解是關鍵．

知識點：解直角三角形與其應用

題型：綜合題