如圖，在中，，M是的中點，點D在上，，，垂足分別為E，F，連接．則下列結論中：①；②；③；④；⑤若平分，則；⑥...

問題詳情：

如圖，在中，，M是的中點，點D在上，，，垂足分別為E，F，連接．則下列結論中：①；②；③；④；⑤若平分，則；⑥，正確的有___________．（只填序號）

【回答】

①②③④⑤⑥

【解析】

*△BCF≌△CAE，得到BF=CE，可判斷①；再*△BFM≌△CEM，從而判斷△EMF為等腰直角三角形，得到EF=EM，可判斷③，同時得到∠MEF=∠MFE=45°，可判斷②；再*△DFM≌△NEM，得到△DMN為等腰直角三角形，得到DN=DM，可判斷④；根據角平分線的定義可逐步推斷出DE=EM，再*△ADE≌△ACE，得到DE=CE，則有，從而判斷⑤；最後*△CDM∽ADE，得到，結合BM=CM，AE=CF，可判斷⑥.

【詳解】

解：∵∠ACB=90°，

∴∠BCF+∠ACE=90°，

∵∠BCF+∠CBF=90°，

∴∠ACE=∠CBF，

又∵∠BFD=90°=∠AEC，AC=BC，

∴△BCF≌△CAE（AAS），

∴BF=CE，故①正確；

由全等可得：AE=CF，BF=CE，

∴AE-CE=CF=CE=EF，連接FM，CM，

∵點M是AB中點，

∴CM=AB=BM=AM，CM⊥AB，

在△BDF和△CDM中，∠BFD=∠CMD，∠BDF=∠CDM，

∴∠DBF=∠DCM，又BM=CM，BF=CE，

∴△BFM≌△CEM，

∴FM=EM，∠BMF=∠CME，

∵∠BMC=90°，

∴∠EMF=90°，即△EMF為等腰直角三角形，

∴EF=EM=，故③正確，

∠MEF=∠MFE=45°，∵∠AEC=90°，

∴∠MEF=∠AEM=45°，故②正確，

設AE與CM交於點N，連接DN，

∵∠DMF=∠NME，FM=EM，∠DFM=∠DEM=∠AEM=45°，

∴△DFM≌△NEM，

∴DF=EN，DM=MN，

∴△DMN為等腰直角三角形，

∴DN=DM，而∠DEA=90°，

∴，故④正確；

∵AC=BC，∠ACB=90°，

∴∠CAB=45°，

∵AE平分∠BAC，

∴∠DAE=∠CAE=22.5°，∠ADE=67.5°，

∵∠DEM=45°，

∴∠EMD=67.5°，即DE=EM，

∵AE=AE，∠AED=∠AEC，∠DAE=∠CAE，

∴△ADE≌△ACE，

∴DE=CE，

∵△MEF為等腰直角三角形，

∴EF=，

∴，故⑤正確；

∵∠CDM=∠ADE，∠CMD=∠AED=90°，

∴△CDM∽ADE，

∴，

∵BM=CM，AE=CF，

∴，

∴，故⑥正確；

故*為：①②③④⑤⑥.

【點睛】

本題考查了全等三角形的判定和*質，相似三角形的判定和*質，等腰直角三角形的判定和*質，等量代換，難度較大，解題的關鍵是添加輔助線，找到全等三角形説明角相等和線段相等.

知識點：相似三角形

題型：填空題