问题详情:
已知函数f(x)=xln x.
(1)若函数g(x)=f(x)+x2+ax+2有零点,求实数a的最大值;
(2)若∀x>0,≤x-kx2-1恒成立,求实数k的取值范围.
【回答】
(1)由题知,g(x)=xln x+x2+ax+2=0在(0,+∞)上有实根,
即:-a=ln x+x+在(0,+∞)上有实根,
令φ(x)=ln x+x+,则φ′(x)=+1-== (x+2)(x-1),
易知,φ(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以,-a≥φ(x)max=φ(1)=3,a≤-3.
(2)依题意≤x-kx2-1,kx2≤x-1-ln x,x>0.
所以k≤ (x-1-ln x)
设g(x)=x-1-ln x,x>0,g′(x)=1-,
当0<x<1时g′(x)<0,
当x>1时g′(x)>0,所以∀x>0,g(x)≥g(1)=0.
所以, (x-1-ln x)≥0,
∴k≤0,即k的取值范围是(-∞,0].
知识点:导数及其应用
题型:解答题