已知點動點滿足直線與的斜率之積爲.記的軌跡爲曲線.1.求的方程，並說明是什麼曲線；2.過座標原點的直線交於兩點...

問題詳情：

已知點動點滿足直線與的斜率之積爲.記的軌跡爲曲線.

1.求的方程，並說明是什麼曲線；

2.過座標原點的直線交於兩點，點在第一象限，軸，垂足爲，連結並延長交於點.

（i）*：是直角三角形；

（ii）求面積的最大值.

【回答】

1.由題設得，化簡得，所以爲中心在座標原點，焦點在軸上的橢圓，不含左右頂點．

2.（i）設直線的斜率爲，則其方程爲．

由得．

記，則．

於是直線的斜率爲，方程爲．

由得

．①

設，則和是方程①的解，故，由此得．

從而直線的斜率爲．

所以，即是直角三角形．

（ii）由（i）得，，

所以△PQG的面積．

設，則由得，當且僅當時取等號．

因爲在單調遞減，所以當，即時，取得最大值，最大值爲．

因此，面積的最大值爲．

知識點：圓與方程

題型：綜合題