設x＝1與x＝2是函數f(x)＝alnx＋bx2＋x的兩個極值點．(1)試確定常數a和b的值；(2)判斷x＝1...

問題詳情：

設x＝1與x＝2是函數f(x)＝aln x＋bx2＋x的兩個極值點．

(1)試確定常數a和b的值；

(2)判斷x＝1，x＝2是函數f(x)的極大值點還是極小值點，並說明理由．

【回答】

(1) a＝－，b＝－.(2)見解析.

【解析】

【分析】

(1)由題，求出f(x)的導函數f′(x)，可知f′(1)＝f′(2)＝0，解出a，b的值即可；

(2)由(1)可知導函數，再判別出x＝1，x＝2左右兩邊導函數的正負，即可判斷出是極大值還是極小值.

【詳解】(1)∵f(x)＝aln x＋bx2＋x，

∴f′(x)＝＋2bx＋1.

由極值點的必要條件可知：

f′(1)＝f′(2)＝0，

∴a＋2b＋1＝0且＋4b＋1＝0，

解方程組得，a＝ ，b＝ .

(2)由(1)可知f(x)＝ln xx2＋x，

且函數f(x)＝ln xx2＋x的定義域是(0，＋∞)，

f′(x)＝x－1x＋1＝ .

當x∈(0,1)時，f′(x)＜0；當x∈(1,2)時，f′(x)＞0；

當x∈(2，＋∞)時，f′(x)＜0；

所以，x＝1是函數f(x)的極小值點，

x＝2是函數f(x)的極大值點．

知識點：導數及其應用

題型：解答題