已知e爲自然對數的底數，設函數f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1,2)，則(　　)A．當k＝1時，f(...

問題詳情：

已知e爲自然對數的底數，設函數f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1,2)，則(　　)

A．當k＝1時，f(x)在x＝1處取到極小值

B．當k＝1時，f(x)在x＝1處取到極大值

C．當k＝2時，f(x)在x＝1處取到極小值

D．當k＝2時，f(x)在x＝1處取到極大值

【回答】

C

[解析]　本題考查函數零點的判斷及函數的極值．

①當k＝1時，f(x)＝(ex－1)(x－1)，此時f ′(x)＝ex(x－1)＋(ex－1)＝ex·x－1，∴A、B項均錯．

②當k＝2時，f(x)＝(ex－1)(x－1)2

此時f ′(x)＝ex(x－1)2＋(2x－2)(ex－1)

＝ex·x2－2x－ex＋2＝ex(x＋1)(x－1)－2(x－1)

＝(x－1)[ex(x＋1)－2]，

易知g(x)＝ex(x＋1)－2的零點介於0,1之間，不妨設爲x0，則有

故f(x)在x＝1處取得極小值．

知識點：導數及其應用

題型：選擇題