設函數f(x)=(a∈R).(1)若f(x)在x=0處取得極值,確定a的值,並求此時曲線y=f(x)在點(1,...

問題詳情：

設函數f(x)=(a∈R).

(1)若f(x)在x=0處取得極值,確定a的值,並求此時曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程.

(2)若f(x)在上爲減函數,求a的取值範圍.

【回答】

【解析】(1)對f(x)求導得f′(x)

==.

因爲f(x)在x=0處取得極值,所以f′(0)=0,

即a=0.

當a=0時,f(x)=,f′(x)=,故f(1)=,f′(1)=,從而

y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程爲y-=(x-1),化簡得3x-ey=0.

(2)由(1)知f′(x)=,

令g(x)=-3x2+(6-a)x+a,

由g(x)=0解得x1=,x2=.

當x<x1時,g(x)<0,即f′(x)<0,故f(x)爲減函數;

當x1<x<x2時,g(x)>0,即f′(x)>0,故f(x)爲增函數;

當x>x2時,g(x)<0,即f′(x)<0,故f(x)爲減函數;

由f(x)在上爲減函數,

知x2=≤3,解得a≥-,

故a的取值範圍爲.

知識點：導數及其應用

題型：解答題