如圖，在中，為上一點，以為圓心，長為半徑作圓，與相切於點，過點作交的延長線於點,且.  （1）求*：為的切線；...

問題詳情：

如圖，在中，為上一點，以為圓心，長為半徑作圓，與相切於點，過點作交的延長線於點,且.

   （1）求*：為的切線；

   （2）若， ,求的長.

【回答】

(1)*見解析；（2）

【解析】

（1）作OE⊥AB於點E，*△OBC≌△OBE，根據全等三角形的對應邊相等可得OE=OC， OE是⊙O的半徑 ，OE⊥AB ，即可判定AB為⊙O的切線； 

（2）根據題意先求出AO、BO的長，再*△AOD∽△BOC，根據相似三角形對應邊成比例即可求出AD的長.

【詳解】（1）作OE⊥AB於點E，

∵切BC於點C，

∴OC⊥BC，∠ACB=90°，

∵ AD⊥BD，∴∠D=90°，

∴∠ABD＋∠BAD =90°，∠CBD＋∠BOC=90°，

∵∠BOC=∠AOD，∠AOD=∠BAD，

∴∠BOC=∠BAD，

∴∠ABD=∠CBD

在△OBC和△OBE中，

∴△OBC≌△OBE，

∴OE=OC，∴OE是⊙O的半徑 ，

∵OE⊥AB ，∴AB為⊙O的切線； 

（2） ∵tan∠ABC=，BC=6，

∴AC=8，∴AB= ，

∵BE=BC=6，∴AE=4，

∵∠AOE=∠ABC，∴tan∠AOE= ，∴EO=3，

∴AO=5，OC=3，∴BO=，

在△AOD和△BOC中，

∴△AOD∽△BOC，∴ ，

即 ，∴AD= .

【點睛】本題考查了切線的判定與*質，相似三角形的判定與*質等，熟練掌握相關的判定與*質定理是解題的關鍵.

知識點：點和圓、直線和圓的位置關係

題型：解答題