椭圆＋＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F...

问题详情：

椭圆＋＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是(　　)

A． (，)B． (，1)

C． (，1)D． (，)∪(，1)

【回答】

D

【解析】①当点P与短轴的顶点重合时，

△F1F2P构成以F1F2为底边的等腰三角形，

此种情况有2个满足条件的等腰△F1F2P；

②当△F1F2P构成以F1F2为一腰的等腰三角形时，

以F2P作为等腰三角形的底边为例，

∵|F1F2|＝|F1P|，

∴点P在以F1为圆心，半径为焦距2c的圆上，

因此，当以F1为圆心，半径为2c的圆与椭圆C有2交点时，

存在2个满足条件的等腰△F1F2P，

在△F1F2P1中，|F1F2|＋|PF1|＞|PF2|，即2c＋2c＞2a－2c，

由此得知3c＞a.所以离心率e＞.

当e＝时，△F1F2P是等边三角形，与①中的三角形重复，故e≠.

同理，当F1P为等腰三角形的底边时，在e>且e≠时也存在2个满足条件的等腰△F1F2P.

综上，共有6个不同的点P使得△F1F2P为等腰三角形．

综上所述，离心率的取值范围是e∈(，)∪(，1)．

知识点：圆锥曲线与方程

题型：选择题