．已知点M是椭圆C：＋＝1(a>b>0)上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且|F1F2|＝4...

问题详情：

．已知点M是椭圆C：＋＝1(a>b>0)上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且|F1F2|＝4，∠F1MF2＝60°，△F1MF2的面积为．

(1)求椭圆C的方程；

(2)设N(0，2)，过点P(－1，－2)作直线l，交椭圆C异于N的A，B两点，直线NA，NB的斜率分别为k1，k2，*：k1＋k2为定值．

【回答】

解：(1)在△F1MF2中，由|MF1||MF2|sin 60°＝，得|MF1||MF2|＝．

由余弦定理，得|F1F2|2＝|MF1|2＋|MF2|2－2|MF1|·|MF2|cos 60°＝(|MF1|＋|MF2|)2－2|MF1||MF2|·(1＋cos 60°)，

解得|MF1|＋|MF2|＝4．

从而2a＝|MF1|＋|MF2|＝4，即a＝2．

由|F1F2|＝4得c＝2，从而b＝2，

故椭圆C的方程为＋＝1．

(2)*：当直线l的斜率存在时，设斜率为k，则其方程为y＋2＝k(x＋1)，

4．

当直线l的斜率不存在时，可得A(－1，)，

B(－1，－)，得k1＋k2＝4．

综上，k1＋k2为定值．

知识点：圆锥曲线与方程

题型：解答题