设F1、F2分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右两个焦点．(1)若椭圆C上的点A(1，)到F...

问题详情：

设F1、F2分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右两个焦点．

(1)若椭圆C上的点A(1，)到F1、F2两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；

(2)设点K是(1)中所得椭圆上的动点，求线段F1K的中点的轨迹方程；

(3)若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时．

求*：kPM·kPN是与点P位置无关的定值．

【回答】

解：(1)椭圆C的焦点在x轴上，由椭圆上的点A到F1、F2两点的距离之和是4，得2a＝4，即a＝2.

又点A在椭圆上，

因此＋＝1得b2＝3，

于是c2＝1.

所以椭圆C的方程为＋＝1，

焦点F1(－1,0)，F2(1,0)．

(2)设椭圆C上的动点为K(x1，y1)，线段F1K的中点Q(x，y)满足：

x＝，y＝，

即x1＝2x＋1，y1＝2y.因此＋＝1.

即2＋＝1为所求的轨迹方程．

(3)设点M(m，n)是椭圆＋＝1①

上的任一点，N(－m，－n)是M关于原点的中心对称点，则＋＝1②

又设P(x，y)是椭圆上任一点，且kPM·kPN存在．

则kPM＝，kPN＝，

∴kPM·kPN＝·＝.

①－②得＋＝0，＝－，

∴kPM·kPN＝－.

故kPM·kPN与P的取值无关．

知识点：圆锥曲线与方程

题型：综合题