已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为2，F1，F2为左、右焦点，P为双曲线上一点，且∠F1PF2＝60°，S△P...

问题详情：

已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为2，F1，F2为左、右焦点，P为双曲线上一点，且∠F1PF2＝60°，S△PF1F2＝12 ，求双曲线的标准方程．

【回答】

解　

如图所示，设双曲线方程为＝1 (a>0，b>0)．

∵e＝＝2，∴c＝2a.

由双曲线的定义，

得||PF1|－|PF2||＝2a＝c，

在△PF1F2中，由余弦定理，得：

|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°

＝(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1||PF2|(1－cos 60°)，

即4c2＝c2＋|PF1||PF2|.①

又S△PF1F2＝12，

∴|PF1||PF2|sin 60°＝12，

即|PF1||PF2|＝48.②

由①②，得c2＝16，c＝4，则a＝2，b2＝c2－a2＝12，

∴所求的双曲线方程为＝1.

知识点：圆锥曲线与方程

题型：解答题