问题详情:
已知e为自然对数的底数,设函数f(x)=(ex-1)(x-1)k(k=1,2),则( )
A.当k=1时,f(x)在x=1处取到极小值
B.当k=1时,f(x)在x=1处取到极大值
C.当k=2时,f(x)在x=1处取到极小值
D.当k=2时,f(x)在x=1处取到极大值
【回答】
C
[解析] 本题考查函数零点的判断及函数的极值.
①当k=1时,f(x)=(ex-1)(x-1),此时f ′(x)=ex(x-1)+(ex-1)=ex·x-1,∴A、B项均错.
②当k=2时,f(x)=(ex-1)(x-1)2
此时f ′(x)=ex(x-1)2+(2x-2)(ex-1)
=ex·x2-2x-ex+2=ex(x+1)(x-1)-2(x-1)
=(x-1)[ex(x+1)-2],
易知g(x)=ex(x+1)-2的零点介于0,1之间,不妨设为x0,则有
x | (-∞,x0) | x0 | (x0,1) | 1 | (1,+∞) |
f ′(x) | + | 0 | - | 0 | + |
f(x) | | 极大值 | ↘ | 极小值 | |
故f(x)在x=1处取得极小值.
知识点:导数及其应用
题型:选择题