已知函數f(x)＝1－|2x－1|，0≤x≤1，設fn(x)＝fn－1(f1(x))，其中f1(x)＝f(x)...

問題詳情：

已知函數f(x)＝1－|2x－1|，0≤x≤1，設fn(x)＝fn－1(f1(x))，其中f1(x)＝f(x)，方程

fn(x)＝0和方程fn(x)＝1根的個數分別爲gn(0)，gn(1)．

(1) 求g2(1)的值；

(2) *：gn(0)＝gn(1)＋1.

【回答】

(1) 當n＝2時，f2(x)＝f1(1－|2x－1|)＝f(1－|2x－1|)＝1－|2(1－|2x－1|)－1|＝1，

所以2(1－|2x－1|)＝1，

所以1－|2x－1|＝，

所以2x－1＝±，

所以x＝或x＝，

所以g2(1)＝2.

(2) 因爲f(0)＝f(1)＝0，

所以fn(0)＝fn(1)＝0.

因爲f1(x)＝1－|2x－1|∈[0，1]，

當x∈時，f1(x)單調遞增，且f1(x)∈(0，1]，

當x∈時，f1(x)單調遞減，且f1(x)∈[0，1)．

下面用數學歸納法*：方程fn(x)＝0(x∈(0，1])、方程fn(x)＝1(x∈(0，1])、方程fn(x)＝0(x∈[0，1))、方程fn(x)＝1(x∈[0，1))的根的個數都相等，且爲gn(1)．

(ⅰ) 當n＝1時，方程f1(x)＝0(x∈(0，1])、方程f1(x)＝1(x∈(0，1])、方程f1(x)＝0(x∈[0，1))、方程f1(x)＝1(x∈[0，1))的根的個數都相等，且爲1，上述命題成立．

(ⅱ) 假設n＝k時，方程fk(x)＝0(x∈(0，1])、方程fk(x)＝1(x∈(0，1])、方程fk(x)＝0(x∈[0，1))、方程fk(x)＝1(x∈[0，1))的根的個數都相等，且爲gk(1)，

則當n＝k＋1時，有fk＋1(x)＝fk(f1(x))．

當x∈時，f1(x)∈(0，1]，方程fk＋1(x)＝0的根的個數爲gk(1)．

當x∈時，f1(x)∈[0，1)，方程fk＋1(x)＝0的根的個數也爲gk(1)．

所以方程fk＋1(x)＝0(x∈(0，1])的根的個數爲gk＋1(0)＝2gk(1)，

同理可*：方程fk＋1(x)＝1(x∈(0，1])、方程fk＋1(x)＝0(x∈[0，1))、方程fk＋1(x)＝1(x∈[0，1))的根的個數都相等，且爲2gk(1)，

由(ⅰ)(ⅱ)可知，命題成立，

又因爲fn(0)＝fn(1)＝0，

所以gn(0)＝gn(1)＋1.

知識點：*與函數的概念

題型：解答題