問題詳情:
已知函數f(x)=1+x﹣+﹣+…+,g(x)=1﹣x+﹣+﹣…﹣,設函數F(x)=f(x+3)•g(x﹣4),且函數F(x)的零點均在區間[a,b](a<b,a,b∈Z內,則b﹣a的最小值爲( )
A. | 8 | B. | 9 | C. | 10 | D. | 11 |
【回答】
考點: | 函數的零點與方程根的關係;函數最值的應用. |
專題: | 計算題;函數的*質及應用. |
分析: | 可通過導數法求得f(x)與g(x)的零點,從而可得f(x+3)和g(x﹣4)的零點,繼而可求得F(x)的零點均在區間[a,b](a<b,a,b∈Z)的具體區間,從而可求得b﹣a的最小值. |
解答: | 解:∵f(x)=1+x﹣+﹣+…+, ∴f′(x)=(1﹣x)+(x2﹣x3)+…+x2012 =(1﹣x)(1+x2+x4+…+x2010)+x2012 當x=﹣1時,f′(x)=2×1006+1=2013>0, 當x≠﹣1時,f′(x)=(1﹣x)(1+x2+x4+…+x2010)+x2012 =(1﹣x)•+x2012 =>0, ∴f(x)=1+x﹣+﹣+…+在R上單調遞增; 又f(0)=1, f(﹣1)=﹣﹣﹣﹣…﹣<0, ∴f(x)=1+x﹣+﹣+…+在(﹣1,0)上有唯一零點, 由﹣1<x+3<0得:﹣4<x<﹣3, ∴f(x+3)在(﹣4,﹣3)上有唯一零點. ∵g(x)=1﹣x+﹣+﹣…﹣, ∴g′(x)=(﹣1+x)+(﹣x2+x3)+…﹣x2012 =﹣[(1﹣x)+(x2﹣x3)+…+x2012] =﹣f′(x)<0, ∴g(x)在R上單調遞減; 又g(1)=(﹣)+(﹣)+…+(﹣)>0, g(2)=﹣1+(﹣)+(﹣)+…+(﹣), ∵n≥2時,﹣=<0, ∴g(2)<0. ∴g(x)在(1,2)上有唯一零點, 由1<x﹣4<2得:5<x<6, ∴g(x﹣4)在(5,6)上有唯一零點. ∵函數F(x)=f(x+3)•g(x﹣4), ∴F(x)的零點即爲f(x+3)和g(x﹣4)的零點. ∴F(x)的零點區間爲(﹣4,﹣3)∪(5,6). 又b,a∈Z, ∴(b﹣a)min=6﹣(﹣4)=10. 故選C. |
點評: | 本題考查函數的零點,考查利用導數判斷函數的單調*及零點存在定理的應用,考查綜合分析與轉化的能力,屬於難題. |
知識點:函數的應用
題型:選擇題