已知函數f（x）=+2x﹣lnx．（1）若a=﹣，判斷函數f（x）的單調*；（2）若函數f（x）在定義域內單調...

問題詳情：

已知函數f（x）=+2x﹣lnx．

（1）若a=﹣，判斷函數f（x）的單調*；

（2）若函數f（x）在定義域內單調遞減，求實數a的取值範圍；

（3）當a=﹣時，關於x的方程f（x）=x﹣b在上恰有兩個不相等的實數根，求實數b的取值範圍．

【回答】

【考點】6B：利用導數研究函數的單調*；6D：利用導數研究函數的極值．

【分析】（1）求出函數的導數，解關於導函數的不等式，求出函數的單調區間即可；

（2）求出導數，依題意f′（x）≤0在x＞0時恆成立，即ax2+2x﹣1≤0在x＞0恆成立，對a討論，則有a＜0，判別式不小於0，即可；

（3）由題意設g（x）=x2﹣x+lnx﹣b，求得導數，列表表示g（x）和g′（x）的關係，得到極小值和極大值，

又方程g（x）=0在上恰有兩個不相等的實數根．則令g（1）≥0，g（2）＜0，g（4）≥0，解出它們即可，．

【解答】解：（1）f′（x）=，（x＞0），

∵a=﹣時，由f′（x）=＞0，

得3x2﹣8x+4＜0，∴＜x＜2，

故f（x）在（，2）內遞增，在（0，）和（2，+∞）內遞減．      

（2）函數f（x）的定義域爲（0，+∞），依題意f′（x）≤0在x＞0時恆成立，

即ax2+2x﹣1≤0在x＞0時恆成立，

則a≤=﹣1在x＞0時恆成立，即a≤﹣1，

∴a的取值範圍是（﹣∞，﹣1]；

（3）由題意﹣x2+2x﹣lnx=x﹣b，

即x2﹣x+lnx﹣b=0，

設g（x）=x2﹣x+lnx﹣b，

則g′（x）=，

列表：

∴g（x）極大值=g（1）=﹣b﹣，g（x）極小值=g（2）=ln2﹣b﹣2，又g（4）=2ln2﹣b﹣2

又方程g（x）=0在上恰有兩個不相等的實數根．

則，得 ln2﹣2＜b≤﹣（注意﹣＜﹣1＜2ln2﹣2），

∴b的取值範圍爲（ln2﹣2，﹣]．

知識點：導數及其應用

題型：解答題