我們知道，三角形的內心是三條角平分線的交點，過三角形內心的一條直線與兩邊相交，兩交點之間的線段把這個三角形分成...

問題詳情：

我們知道，三角形的內心是三條角平分線的交點，過三角形內心的一條直線與兩邊相交，兩交點之間的線段把這個三角形分成兩個圖形.若有一個圖形與原三角形相似，則把這條線段叫做這個三角形的“內似線”.

(1)  等邊三角形“內似線”的條數為　   　；

(2)  如圖，△ABC中，AB=AC，點D在AC上，且BD=BC=AD，求*：BD是△ABC的“內似線”；

(3)  在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，E、F分別在邊AC、BC上，且EF是△ABC的“內似線”，求EF的長.

【回答】

(1)  解：等邊三角形“內似線”的條數為3條；理由如下：

過等邊三角形的內心分別作三邊的平行線，如圖1所示：

則△AMN∽△ABC，△CEF∽△CBA，△BGH∽△BAC，

∴MN、EF、GH是等邊三角形ABC的內似線”；

故*為：3；

(2)  *：∵AB=AC，BD=BC，

∴∠ABC=∠C=∠BDC，

∴△BCD∽△ABC，

∴BD是△ABC的“內似線”；

(3)  解：設D是△ABC的內心，連接CD，

則CD平分∠ACB，

∵EF是△ABC的“內似線”，

∴△CEF與△ABC相似；

分兩種情況：①當==時，EF∥AB，

∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，

∴AB==5，

作DN⊥BC於N，如圖2所示：

則DN∥AC，DN是Rt△ABC的內切圓半徑，

∴DN=（AC+BC﹣AB）=1，

∵CD平分∠ACB，

∴=，

∵DN∥AC，

∴=，即，

∴CE=，

∵EF∥AB，

∴△CEF∽△CAB，

∴，即，

解得：EF=；

②當==時，同理得：EF=；

綜上所述，EF的長為．

知識點：相似三角形

題型：解答題