問題詳情:
已知正三稜錐的高為6,側面與底面成的二面角,則其內切球(與四個面都相切)的表面積為( )
A. B. C. D.
【回答】
B
【解析】
【分析】
過點P作PD⊥平面ABC於D,連結並延長AD交BC於E,連結PE,△ABC是正三角形,AE是BC邊上的高和中線,D為△ABC的中心.由此能求出稜錐的全面積,再求出稜錐的體積,設球的半徑為r,以球心O為頂點,稜錐的四個面為底面把正三稜錐分割為四個小稜錐,利用等體積能求出球的表面積.
【詳解】如圖,過點P作PD⊥平面ABC於D,
連結並延長AD交BC於E,連結PE,△ABC是正三角形,
∴AE是BC邊上的高和中線,D為△ABC的中心.
∴為側面與底面所成的二面角的平面角,
∴=
∵PD=6,∴DE=2,PE=4 , AB=12,
∴S△ABC=×(12)2=36,S△PAB=S△PBC=S△PCA==24.
∴S表=108.
設球的半徑為r,以球心O為頂點,稜錐的四個面為底面把正三稜錐分割為四個小稜錐,
∵PD=6,∴VP﹣ABC=•36•6=72.
則由等體積可得r==2,
∴S球=4π22=16π.
故選B.
【點睛】本題考查稜錐的內切球的半徑的求法,稜錐全面積和體積的求法,考查球的表面積公式,解題時要認真審題,注意空間思維能力的培養.
知識點:空間幾何體
題型:選擇題