已知三稜錐四個頂點均在半徑為R的球面上，且，若該三稜錐體積的最大值為1，則這個球的表面積為A.        ...

問題詳情：

已知三稜錐四個頂點均在半徑為R的球面上，且，若該三稜錐體積的最大值為1，則這個球的表面積為

A.                 B.                   C.                  D.

【回答】

D

【解析】

分析：因為三稜錐的體積有最大值且為確定的三角形，故球心在三稜錐的內部且球心到平面的距離是定值.要使得體積最大，只要到平面的距離最大即可，此時與球心的連線垂直平面且經過外心，根據這個*質可以得到外接球的半徑.

詳解：為等腰直角三角形，三稜錐體積最大時，球心在過的中點且垂直於平面的直線上，為該直線與球面的交點，此時高，

故體積，解得，

故.選D.

點睛：為了求得外接球的內接三稜錐的體積的最大值，我們需選擇合適的變量構建體積的函數關係式，因本題中三稜錐的底面三角形確定，頂點在球面上變化，故高最大時體積最大.

知識點：球面上的幾何

題型：選擇題