如圖所示，A、B兩城相距100km，某天然氣公司計劃在兩地之間建一天然氣站D給A、B兩城供氣.已知D地距A城x...

問題詳情：

如圖所示，A、B兩城相距100 km，某天然氣公司計劃在兩地之間建一天然氣站D給A、B兩城供氣.已知D地距A城x km，為保*城市安全，天然氣站距兩城市的距離均不得少於10 km.已知建設費用y(萬元)與A、B兩地的供氣距離(km)的平方和成正比.當天然氣站D距A城的距離為40 km時，建設費用為1 300萬元(供氣距離指天然氣站距到城市的距離).

(1)把建設費用y(萬元)表示成供氣距離x(km)的函數，並求定義域；

(2)天然氣供氣站建在距A城多遠，才能使建設供氣費用最小，最小費用是多少？

【回答】

解　(1)由題意知D地距B地(100－x)km，則所以10≤x≤90.

設比例係數為k，則y＝k[x2＋(100－x)2](10≤x≤90)，

又x＝40時，y＝1300，所以1 300＝k(402＋602)，

即k＝，所以y＝[x2＋(100－x)2]＝(x2－100x＋5 000)(10≤x≤90).

(2)由於y＝(x2－100x＋5 000)

＝(x－50)2＋1 250，

所以當x＝50時，y有最小值為1 250萬元.

所以當供氣站建在距A城50 km處，能使建設費用最小，最小費用是1 250萬元【例1】 求*方程x·2x＝1至少有一個小於1的正根.

*　令f(x)＝x·2x－1，則f(x)的圖象在R上是一條連續不斷的曲線.

當x＝0時，f(0)＝0×20－1＝－1＜0，

當x＝1時，f(1)＝1×21－1＝1＞0，

∴f(0)·f(1)＜0，∴f(x)＝x·2x－1在區間(0，1)內至少有一個零點，故方程x·2x＝1至少有一個小於1的正根.

知識點：函數的應用

題型：解答題