問題詳情:
圖預20-7-1中 A和B是真空中的兩塊面積很大的平行金屬板、加上週期為T的交流電壓,在兩板間產生交變的勻強電場.己知B板電勢為零,A板電勢UA隨時間變化的規律如圖預20-7-2所示,其中UA的最大值為的U0,最小值為一2U0.在圖預20-7-1中,虛線MN表示與A、B扳平行等距的一個較小的面,此面到A和B的距離皆為l.在此面所在處,不斷地產生電量為q、質量為m的帶負電的微粒,各個時刻產生帶電微粒的機會均等.這種微粒產生後,從靜止出發在電場力的作用下運動.設微粒一旦碰到金屬板,它就附在板上不再運動,且其電量同時消失,不影響A、B板的電壓.己知上述的T、Ul,q和m等各量的值正好滿足等式
若在交流電壓變化的每個週期T內,平均產主320個上述微粒,試論*在t=0到t=T/2這段時間內產主的微粒中,有多少微粒可到達A板(不計重力,不考慮微粒之間的相互作用)。
【回答】
在電壓為時,微粒所受電場力為,此時微粒的加速度為。將此式代入題中所給的等式,可將該等式變為
(1)
現在分析從0到時間內,何時產生的微粒在電場力的作用下能到達A板,然後計算這些微粒的數目。
在時產生的微粒,將以加速度向A板運動,經後,移動的距離與式(1)相比,可知
(2)
即時產生的微粒,在不到時就可以到達A板。在的情況下,設剛能到達A板的微粒是產生在時刻,則此微粒必然是先被電壓加速一段時間,然後再被電壓減速一段時間,到A板時剛好速度為零。用和分別表示此兩段時間內的位移,表示微粒在內的末速,也等於後一段時間的初速,由勻變速運動公式應有
(3)
(4)
又因
, (5)
, (6)
, (7)
由式(3)到式(7)及式(1),可解得
, (8)
這就是説,在的情況下,從到這段時間內產生的微粒都可到達A板(確切地説,應當是)。
為了討論在這段時間內產生的微粒的運動情況,先設想有一靜止粒子在A板附近,在電場作用下,由A板向B板運動,若到達B板經歷的時間為,則有
根據式(1)可求得
由此可知,凡位於到A板這一區域中的靜止微粒,如果它受的電場作用時間大於,則這些微粒都將到達B板。
在發出的微粒,在的電場作用下,向A板加速運動,加速的時間為,接着在的電場作用下減速,由於減速時的加速度為加速時的兩倍,故經過微粒速度減為零。由此可知微粒可繼續在的電場作用下向B板運動的時間為
由於,故在時產生的微粒最終將到達B板(確切地説,應當是),不會再回到A板。
在大於但小於時間內產生的微粒,被的電場加速的時間小於,在的電場作用下速度減到零的時間小於,故可在的電場作用下向B板運動時間為
所以這些微粒最終都將打到B板上,不可能再回到A板。
由以上分析可知,在到時間內產生的微粒中,只有在到時間內產生的微粒能到達A板,因為各個時刻產生帶電微粒的機會均等,所以到達A板的微粒數為
(9)
評分標準:本題20分。
論*在到時間內產生的微粒可能到達A板給10分;論*到時間內產生的微粒不能到達A板給6分。求得最後結果式(9)再給4分。
知識點:專題六 電場和磁場
題型:計算題