【閲讀】數學中，常對同一個量（圖形的面積、點的個數、三角形的內角和等）用兩種不同的方法計算，從而建立相等關係，...

問題詳情：

【閲讀】

數學中，常對同一個量（圖形的面積、點的個數、三角形的內角和等）用兩種不同的方法計算，從而建立相等關係，我們把這一思想稱為“算兩次”．“算兩次”也稱做富比尼原理，是一種重要的數學思想．

【理解】

（1）如圖1，兩個邊長分別為a、b、c的直角三角形和一個兩條直角邊都是c的直角三角形拼成一個梯形．用兩種不同的方法計算梯形的面積，並寫出你發現的結論；

（2）如圖2，n行n列的棋子排成一個正方形，用兩種不同的方法計算棋子的個數，可得等式：n2＝　   　；

【運用】

（3）n邊形有n個頂點，在它的內部再畫m個點，以（m+n）個點為頂點，把n邊形剪成若干個三角形，設最多可以剪得y個這樣的三角形．當n＝3，m＝3時，如圖3，最多可以剪得7個這樣的三角形，所以y＝7．

①當n＝4，m＝2時，如圖4，y＝　   　；當n＝5，m＝　   　時，y＝9；

②對於一般的情形，在n邊形內畫m個點，通過歸納猜想，可得y＝　   　（用含m、n的代數式表示）．請對同一個量用算兩次的方法説明你的猜想成立．

【回答】

解：（1）有三個Rt△其面積分別為ab， ab和c2．

直角梯形的面積為（a+b）（a+b）．

由圖形可知：（a+b）（a+b）＝ab+ab+c2

整理得（a+b）2＝2ab+c2，a2+b2+2ab＝2ab+c2，

∴a2+b2＝c2．

故結論為：直角長分別為a、b斜邊為c的直角三角形中a2+b2＝c2．

（2）n行n列的棋子排成一個正方形棋子個數為n2，每層棋子分別為1，3，5，7，…，2n﹣1．

由圖形可知：n2＝1+3+5+7+…+2n﹣1．

故*為1+3+5+7+…+2n﹣1．

（3）①如圖4，當n＝4，m＝2時，y＝6，

如圖5，當n＝5，m＝3時，y＝9．

②方法1．對於一般的情形，在n邊形內畫m個點，第一個點將多邊形分成了n個三角形，以後三角形內部每增加一個點，分割部分增加2部分，故可得y＝n+2（m﹣1）．

方法2．以△ABC的二個頂點和它內部的m個點，共（m+3）個點為頂點，可把△ABC分割成3+2（m﹣1）個互不重疊的小三角形．以四邊形的4個頂點和它內部的m個點，共（m+4）個點為頂點，可把四邊形分割成4+2（m﹣1）個互不重疊的小三角形．故以n邊形的n個頂點和它內部的m個點，共（m+n）個點作為頂點，可把原n邊形分割成n+2（m﹣1）個互不重疊的小三角形．故可得y＝n+2（m﹣1）．

故*為：①6，3；②n+2（m﹣1）．

知識點：各地中考

題型：解答題