從z軸上的O點發*一束電量為q（＞0）、質量為m的帶電粒子，它們速度統方向分佈在以O點為頂點、z軸為對稱軸的一...

問題詳情：

從 z軸上的 O點發*一束電量為q（＞0）、質量為m的帶電粒子，它們速度統方向分佈在以O點為頂點、z軸為對稱軸的一個頂角很小的錐體內（如圖所示），速度的大小都等於v．試設計一種勻強磁場，能使這束帶電粒子會聚於z軸上的另一點M，M點離開O點的經離為d．要求給出該磁場的方向、磁感應強度的大小和最小值．不計粒子間的相互作用和重力的作用．

【回答】

設計的磁場為沿軸方向的勻強磁場，點和點都處於這個磁場中。下面我們根據題意求出這種磁場的磁感應強度的大小。粒子由點*出就進入了磁場，可將與軸成角的速度分解成沿磁場方向的分速度和垂直於磁場方向的分速度（見圖預解20-4-1），注意到很小，得

                                （1）

                               （2）

粒子因具有垂直磁場方向的分速度，在洛侖茲力作用下作圓周運動，以表示圓周的半徑，有

圓周運動的週期

由此得

                                     （3）

可見週期與速度分量無關。

粒子因具有沿磁場方向的分速度，將沿磁場方向作勻速直線運動。由於兩種分速度同時存在，粒子將沿磁場方向作螺旋運動，螺旋運動螺距為

                      （4）

由於它們具有相同的，因而也就具有相同的螺距；又由於這些粒子是從同一點*出的，所以經過整數個螺距（最小是一個螺距）又必定會聚於同一點。只要使等於一個螺距或一個螺距的（整數）倍，由點*出的粒子繞磁場方向旋轉一週（或若干周後）必定會聚於點，如圖20-4-2所示。所以

     ， ＝1，2，3，…     （5）

由式（3）、（4）、（5）解得

         ， ＝1，2，3，…                          （6）

這就是所要求磁場的磁感應強度的大小，最小值應取＝1，所以磁感應強度的最小值為

         。                                    （7）

評分標準：本題20分。

磁場方向2分，式（3）、（4）各3分，式（5）5分，求得式（6）給5分，求得式（7）再給2分。

知識點：物理競賽

題型：計算題