問題詳情:
我們知道:有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.類似地,我們定義:至少有一組對邊相等的四邊形叫做等對邊四邊形.
(1)如圖,在中,點,分別在,上,設,相交於點,若,.請你寫出圖中一個與相等的角,並猜想圖中哪個四邊形是等對邊四邊形?
(2)在中,如果是不等於的鋭角,點,分別在,上,且.探究:滿足上述條件的圖形中是否存在等對邊四邊形,並*你的結論.
【回答】
(1)與∠A相等的角是∠BOD、∠COE,四邊形DBCE是等對邊四邊形;(2)存在等對邊四邊形DBCE,*見解析;
【解析】
(1)根據三角形外角的*質可得∠BOD=60°,根據對頂角的*質可得∠COE=60°;作CG⊥BE於G點,作BF⊥C,D交CD延長線於F點通過*△BCF≌△CBG,可得BF=CG,,再*△BDF≌△CEG,即可*四邊形DBCE是等對邊四邊形;
(2)作CG⊥BE於G點,作BF⊥CD交CD延長線於F點.易*△BCF≌△CBG,進而*△BDF≌△CEG,所以BD=CE,所以四邊形DBCE是等對邊四邊形.
【詳解】
(1)∵∠A=60°,
∴∠OBC=∠OCB=30°
∴∠BOD=∠COE=∠OBC+∠OCB=30°+30°=60°,
∴與∠A相等的角是∠BOD、∠COE,
四邊形DBCE是等對邊四邊形,*如下:
如圖,作CG⊥BE於G點,作BF⊥CD交CD延長線於F點.
∴∠BFC=∠CGB=∠CGE=90°
∵∠DCB=∠EBC=∠A,BC=BC,
∴△BCF≌△CBG,
∴BF=CG,
∵∠BDF=∠ABE+∠DOB,∠BEC=∠ABE+∠A,∠A=∠BOD
∴∠BDF=∠BEC,
又∵∠BFD=∠CGE=90°,BF=CG,
∴△BDF≌△CEG,
∴BD=CE,
∴四邊形DBCE是等對邊四邊形.
(2)存在等對邊四邊形DBCE,理由如下:
如圖,作CG⊥BE於G點,作BF⊥CD交CD延長線於F點.
∴∠BFC=∠CGB=∠CGE=90°
∵∠DCB=∠EBC=∠A,BC=BC,
∴△BCF≌△CBG,
∴BF=CG,
∵
∴∠BOD =∠OBC+∠OCB= ,
∴∠A=∠BOD,
∵∠BDF=∠ABE+∠DOB,∠BEC=∠ABE+∠A,
∴∠BDF=∠BEC,
又∵∠BDF=∠CGE=90°,BF=CG,
∴△BDF≌△CEG,
∴BD=CE,
∴四邊形DBCE是等對邊四邊形.
【點睛】
解決本題的關鍵是理解等對邊四邊形的定義,把*BD=CE的問題轉化為*三角形全等的問題.
知識點:三角形全等的判定
題型:解答題