問題詳情:
我們定義:如果一個三角形一條邊上的高等於這條邊,那麼這個三角形叫做“等高底”三角形,這條邊叫做這個三角形的“等底”。
(1)概念理解:如圖1,在△ABC中,AC=6,BC=3,∠ACB=30°,試判斷△ABC是否是“等高底”三角形請説明理由。
(2)問題探究:如圖2,△ABC是“等高底”三角形,BC是“等底”,作△ABC關於BC所在直線的對稱圖形得到△A'BC,連結AA'交直線BC於點D.若點B是△AA'C的重心,求 的值.
(3)應用拓展:如圖3.已知l1∥l2 , l1與l2之間的距離為2.“等高底”△ABC的“等底”BC在直線l1上,點A在直線l2上,有一邊的長是BC的 倍.將△ABC繞點C按順時針方向旋轉45°得到△A'B'C,AC所在直線交l2於點D.求CD的值。
【回答】
(1)如圖1,過點A作AD⊥直線CB於點D, ∴△ADC為直角三角形,∠ADC=90°, ∵∠ACB=30°,AC=6, ∴AD= AC=3 ∴AD=BC=3. 即△ABC是“等高底”三角形。 (2)如圖2, ∵△ABC是“等高底”三角形,BC是“等底”, ∴AD=BC. ∵△A'BC與△ABC關於直線BC對稱, ∴∠ADC=90° ∵點B是△AA'C的重心, ∴BC=2BD 設BD=x,則AD=BC=2x, ∴CD= x ∴由勾股定理得AC ∴ (3)①當AB= BC時, Ⅰ.如圖3.作AE⊥l1於點E,DF⊥AC於點F ∴“等高底”△ABC的“等底”為BC,l1∥l2 , ∵l1與l2之間的距離為2,AB= BC ∴BC=AE=2,AB= , ∴BE=2,即EC=4, ∴AC= . ∵△ABC繞點C按順時針方向旋轉45°得到△A'B'C, ∴∠DCF=45° 設DF=CF=x ∵l1∥l2 , ∴∠ACE=∠DAF, ∴ 即AF=2x AC=3x= ,可得x= , ∴CD= x= Ⅱ.如圖4,此時△ABC是等腰直角三角形 ∵△ABC繞點C按順時針方向旋轉45°得到△A'B'C, ∴△ACD是等腰直角三角形, ∴CD= AC= 。 ②當AC= BC時, Ⅰ.如圖5,此時△ABC是等腰直角三角形, ∵△ABC繞點C按順時針方向旋轉45°得到△A'B'C, ∴A'C⊥l1 , ∴CD=AB=BC=2. Ⅱ.如圖6,作AE⊥l1於點E,則AE=BC, ∴AC= BC= AE, ∴∠ACE=45° ∴△ABC繞點C按順時針方向旋轉45°得到△A'B'C時,點A'在直線l1上, ∴A'C∥l2 , 即直線A'C與l2無交點 綜上,CD的值為 , ,2
【考點】含30度角的直角三角形,勾股定理,軸對稱的*質,旋轉的*質
【解析】【分析】(1)過點A作AD⊥直線CB於點D,根據30°角所對的直角邊等於斜邊的一半,可求出AD的長,從而可*得AD=BC,因此可*得結論。 (2)根據已知條件△ABC是“等高底”三角形,BC是“等底,可得出AD=BC,再根據△A'BC與△ABC關於直線BC對稱,可得出∠ADC=90°,然後根據點B是△AA'C的重心,得出BC=2BD,利用勾股定理就可求解。 (2)分情況討論:①當AB= BC時,Ⅰ.如圖3.作AE⊥l1於點E,DF⊥AC於點F,根據已知及勾股定理求出AC的長,再根據旋轉的*質,得出∠DCF=45°,然後*△ADF∽△AEC,得出對應邊成比例,可求得CD的長;Ⅱ.如圖4,此時△ABC是等腰直角三角形,根據旋轉的*質,可得出CD的長;②當AC=BC時,Ⅰ.如圖5,此時△ABC是等腰直角三角形,可得出A'C⊥l1 , 可得出CD的長;Ⅱ.如圖6,作AE⊥l1於點E,則AE=BC,根據勾股定理及相似三角形的*質,可得出CD的長。即可得出*。
知識點:各地中考
題型:綜合題