问题详情：
已知函数f（x）=lnx+ax2+（2a+1）x． （1）讨论f（x）的单调*； （2）当a＜0时，*f（x）≤ - 
- 2．
【回答】
解：因为f（x）=lnx+ax2+（2a+1）x， 求导f′（x）=
+2ax+（2a+1）=
=
，（x＞0）， ①当a=0时，f′（x）=
+1＞0恒成立，此时y=f（x）在（0，+∞）上单调递增； ②当a＞0，由于x＞0，所以（2ax+1）（x+1）＞0恒成立，此时y=f（x）在（0，+∞）上单调递增； ③当a＜0时，令f′（x）=0，解得：x=-
， 因为当x∈（0，-
）时f′（x）＞0；当x∈（-
，+∞）时，f′（x）＜0， 所以y=f（x）在（0，-
）上单调递增、在（-
，+∞）上单调递减； 综上可知：当a≥0时f（x）在（0，+∞）上单调递增， 当a＜0时，f（x）在（0，-
）上单调递增、在（-
，+∞）上单调递减. （2）*：由（1）可知：当a＜0时f（x）在（0，-
）上单调递增、在（-
，+∞）上单调递减， 所以当x=-
时函数y=f（x）取最大值f（x）max=f（-
）=-1-ln2-
+ln（-
）, 从而要*f（x）≤-
-2，即*f（-
）≤-
-2， 即*-1-ln2-
+ln（-
）≤-
-2，即*-
（-
）+ln（-
）≤-1+ln2; 令t=-
，则t＞0，问题转化为*：-
t+lnt≤-1+ln2,（*） 令g（t）=-
t+lnt，则g′（t）=-
+
， 令g′（t）=0可知t=2，则当0＜t＜2时g′（t）＞0，当t＞2时g′（t）＜0， 所以y=g（t）在（0，2）上单调递增、在（2，+∞）上单调递减， 即g（t）≤g（2）=-
×2+ln2=-1+ln2，即（*）式成立， 所以当a＜0时，f（x）≤-
-2成立．
知识点：导数及其应用
题型：解答题
国文精选馆
