已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣2x﹣1．（1）求f（x）的函数解析式；（2...

问题详情：

已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣2x﹣1．

（1）求f（x）的函数解析式；

（2）作出函数f（x）的简图，写出函数f（x）的单调区间及最值；

（3）当x的方程f（x）=m有四个不同的解时，求m的取值范围．

【回答】

【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数奇偶*的*质．

【专题】计算题；数形结合；函数的*质及应用．

【分析】（1）当x＜0时，﹣x＞0，由已知的函数式，结合偶函数的定义，即可得到x＜0的表达式，进而得到f（x）的表达式；

（2）根据偶函数的图象关于原点对称，画出图象，由图象即可得到单调区间和最值；

（3）x的方程f（x）=m有四个不同的解，即有直线y=m与f（x）的图象有四个交点，结合图象即可得到m的取值范围．

【解答】解：（1）当x＜0时，﹣x＞0，

则当x≥0时，f（x）=x2﹣2x﹣1，

则f（﹣x）=（﹣x）2﹣2（﹣x）﹣1=x2+2x﹣1，

∵f（x）是偶函数，∴f（x）=f（﹣x）=x2+2x﹣1，

∴；

（2）函数f（x）的简图：

则单调增区间为[﹣1，0]和[1，+∞），

单调减区间为（﹣∞，﹣1]和[0，1]；

当x=1或﹣1时，f（x）有最小值﹣2，无最大值；

（3）x的方程f（x）=m有四个不同的解，

即有直线y=m与f（x）的图象有四个交点，

由图象可知，m的取值范围是（﹣2，﹣1）．

【点评】本题考查函数的解析式的求法，注意运用偶函数的定义，考查函数的图象，以及通过图象观察得到函数的*质，以及方程根的个数和函数的图象的交点个数的关系，属于中档题．

知识点：函数的应用

题型：解答题