已知函数f（x）=+2x﹣lnx．（1）若a=﹣，判断函数f（x）的单调*；（2）若函数f（x）在定义域内单调...

问题详情：

已知函数f（x）=+2x﹣lnx．

（1）若a=﹣，判断函数f（x）的单调*；

（2）若函数f（x）在定义域内单调递减，求实数a的取值范围；

（3）当a=﹣时，关于x的方程f（x）=x﹣b在上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围．

【回答】

【考点】6B：利用导数研究函数的单调*；6D：利用导数研究函数的极值．

【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；

（2）求出导数，依题意f′（x）≤0在x＞0时恒成立，即ax2+2x﹣1≤0在x＞0恒成立，对a讨论，则有a＜0，判别式不小于0，即可；

（3）由题意设g（x）=x2﹣x+lnx﹣b，求得导数，列表表示g（x）和g′（x）的关系，得到极小值和极大值，

又方程g（x）=0在上恰有两个不相等的实数根．则令g（1）≥0，g（2）＜0，g（4）≥0，解出它们即可，．

【解答】解：（1）f′（x）=，（x＞0），

∵a=﹣时，由f′（x）=＞0，

得3x2﹣8x+4＜0，∴＜x＜2，

故f（x）在（，2）内递增，在（0，）和（2，+∞）内递减．      

（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），依题意f′（x）≤0在x＞0时恒成立，

即ax2+2x﹣1≤0在x＞0时恒成立，

则a≤=﹣1在x＞0时恒成立，即a≤﹣1，

∴a的取值范围是（﹣∞，﹣1]；

（3）由题意﹣x2+2x﹣lnx=x﹣b，

即x2﹣x+lnx﹣b=0，

设g（x）=x2﹣x+lnx﹣b，

则g′（x）=，

列表：

∴g（x）极大值=g（1）=﹣b﹣，g（x）极小值=g（2）=ln2﹣b﹣2，又g（4）=2ln2﹣b﹣2

又方程g（x）=0在上恰有两个不相等的实数根．

则，得 ln2﹣2＜b≤﹣（注意﹣＜﹣1＜2ln2﹣2），

∴b的取值范围为（ln2﹣2，﹣]．

知识点：导数及其应用

题型：解答题