设函数f（x）为R上的奇函数，已知当x＞0时，f（x）=﹣（x+1）2．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若...

问题详情：

设函数f（x）为R上的奇函数，已知当x＞0时，f（x）=﹣（x+1）2．

（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；

（Ⅱ）若f（m2+2m）+f（m）＞0，求m的取值范围．

【回答】

【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）为R上的奇函数，

∴f（0）=0，

若x＜0，则﹣x＞0，

∵当x＞0时，f（x）=﹣（x+1）2．

∴当﹣x＞0时，f（﹣x）=﹣（﹣x+1）2=﹣（x﹣1）2．

∵f（x）是奇函数，

∴f（﹣x）=﹣（x﹣1）2=﹣f（x），

则f（x）=（x﹣1）2，x＜0，

则函数f（x）的解析式f（x）=；

（Ⅱ）若f（m2+2m）+f（m）＞0，

则f（m2+2m）＞﹣f（m）=f（﹣m），

当x＞0时，f（x）=﹣（x+1）2为减函数，且f（x）＜﹣1＜f（0），

当x＜0时，f（x）=（x﹣1）2为减函数，且f（x）＞1＞f（0），

则函数f（x）在R上是减函数，

则m2+2m＜﹣m，

即m2+3m＜0，

则﹣3＜m＜0，

即m的取值范围是（﹣3，0）．

知识点：*与函数的概念

题型：解答题