已知函數f(x)=ax3+3x2-x+1在R上是減函數，求a的取值範圍.

問題詳情：

已知函數f(x)=ax3+3x2-x+1在R上是減函數，求a的取值範圍.

【回答】

解：f′(x)=3ax2+6x-1.

(1)當f′(x)<0(x∈R)時，f(x)是減函數.

3ax2+6x-1<0(x∈R)a<0且Δ=36+12a<0a<-3.

所以，當a<-3時，由f′(x)<0,知f(x)(x∈R)是減函數.

(2)當a=-3時，f(x)=-3x3+3x3-x+1=-3(x-)3+,由函數y=x3在R上的單調*，可知當a=-3時，f(x)(x∈R)是減函數.

(3)當a>-3時，在R上存在一個區間，其上有f′(x)>0,所以，當a>-3時，函數f(x)(x∈R)不是減函數.綜上，所求a的取值範圍是(-∞,-3］.

知識點：導數及其應用

題型：解答題